Mathematische Grundlagen - Verteilungen

Ich habe dieses Thema einfach mal Verteilung genannt, weil die Grundlage dieses Tricks auf den Verteilungsmöglichkeiten von Kartenpärchen auf einer Anzahl von Positionen basiert.
Ein großer Teil der Kartenkünstler hat diesen Trick sicherlich als einen der ersten gelernt, bei denen man sich als Zauberer wirklich etwas merken muß.

Ich rede von dem Trick mit den vier zu merkenden Wörtern:

Andere kennen diesen Trick vielleicht auch mit anderen Wörten. Sehr bekannt ist auch die Wortkombination (MUTUS, NOMEN, DEDIT, COCIS).

Zunächst zum Trick:

Der Zuschauer zählt 20 beliebige Karten aus dem Spiel heraus und legt diese zu 10 beliebigen Pärchen (à 2 Karten) zusammen. Der Zauberer sagt nun, daß er sich bereits alle 10 Pärchen gemerkt hat und fordert die Zuschauer auf, sich jetzt auch ein Pärchen zu merken. Die Karten werden anschließend pärchenweise eingesammelt und nach obigem Schema wieder ausgeteilt. Dabei kommt die erste Karte auf die Position des Buchstaben C (links oben in der Ecke), die zweite Karte an die Position 2. Zeile 3. Spalte. Die dritte Karte auf Z1/S2 (=> Zeile1/Spalte2), die vierte auf Z1/S4 und so weiter. Somit werden die Karten nach einem bestimmten Schema ausgeteilt. Der Zauberer kann nun entweder fragen, in welchen Reihen sich die vom Zuschauer gemerkten Karten befinden (und dann die entsprechend identischen Buchstaben der beiden Zeilen als das gesuchte Pärchen identifizieren) oder aber er läßt sich eine Karte zeigen und findet automatisch die andere dazu (das gleiche Prinzip).

Und jetzt zur Mathematik:

Um die Karten eindeutig identifizieren zu können, muß ich die Buchstaben so auf dem Raster verteilen, daß für jede Möglichkeit (2 verschiedene Reihen oder zwei gleiche Reihen) die Karten eindeutig identifizierbar sind. Die Anzahl der Permutationen beträgt genau 10 und errechnet sich zum einen über den Binomialkoeffizienten (n über k, mit n=4 und k = 2) der den Wert 6 ergibt. Hinzu kommen noch vier Möglichkeiten, da auch zwei Karten innerhalb von einer Zeile liegen können. Die einzelnen Reihenmöglichkeiten für Pärchen nochmals aufgelistet: (1-1, 1-2, 1-3, 1-4, 2-2, 2-3, 2-4, 3-3, 3-4 und 4-4).

Wenn man das Verfahren kennt, kann man natürlich auch ein größeres Feld aufbauen. Beispielsweise kann man auch 5 Reihen à 6 Karten auslegen: (mit 15 Permutationen, da  5 über 2 = 10 ist. Hinzu kommen die 5 Verteilmöglichkeiten auf den Reihen)

Hier hat das ganze zumindest den Vorteil, daß das Auslegen relativ symmetrisch aussieht weil der Verteilvorgang jeweils von links oben anfangend jeweils eine Reihe und eine Spalte abwechselnd komplett ablegt. Die Verteilung erfolgt Z1S1, Z1S2, Z2S1, Z1S3, Z3S1, Z1S4 und so weiter. Auch das wiederfinden ist nach diesem Schema relativ einfach, wenn man sich vor Augen hält, daß bei dieser Verteilmethode die Karten jeweils diagonal "gespiegelt" sind. Allerdings handelt es sich um eine verdoppelte Diagonale. (Ich habe es jetzt einfach mal so bezeichnet und die Karten entsprechend daran orientiert. Eine m x n - Matrix mit n<>m hat halt nunmal keine richtige Diagonale). Die Position der Karten läßt sich aber sehr einfach berechnen:

Der Zuschauer nennt nun zwei Zahlen, die entweder verschieden groß oder gleich sind. Die Position der ersten Karte ist (Spalte = niedrigere Zahl, Zeile = höhere Zahl). Die Position der zweiten Karte ist (Spalte = höhere Zahl + 1, Zeile = niedrigere Zahl). Wenn die Zahlen gleich sind, klappts natürlich auch. Dann ist es egal, welche von den Zahlen ich als "niedrigere" bzw. "höhere" verwende.

Angenommen, die gesuchte Karte ist Karte E. Der Zuschauer gibt also Reihe 1 und Reihe 5 an. Die Position der ersten Karte ist also Spalte 1 und Zeile 5. Die Position der zweiten Karte ist Spalte 6 und Zeile 1. Das gleiche gilt übrigens auch, wenn Sie mit lediglich 20 Karten arbeiten wollen. Hier noch mal die Matrix für 20 Karten:

Wer aber lieber Latein mag, als Mathe, kann sich natürlich auch entsprechende Namen für das 30er Tableau einfallen lassen. :-)